Расчёт в маткаде схемы методом уравнений Кирхгофа

Расчёт в маткаде схемы методом уравнений Кирхгофа рассмотрим на примере расчёта схемы на рисунке 1:

Рисунок 1 - Схема для расчёта методом уравнений Кирхгофа

Для расчёта необходимо обозначить узлы выбрав опорный (обычно обозначается нулём),выбрать направление источника , выбрать направления токов в ветвях и направления обходов независимых контуров. Число независимых контуров определяется как разность числа ветвей и числа узлов без опорного, для данной схемы число независимых контуров равно двум. Также для упрощения расчёта можно заменить последовательные соединения катушек с резисторами комплексными сопротивлениями (ниже будет показано как их определить).

Рисунок 2 - Преобразованная схема для расчёта

 E - источник переменного напряжения пусть например с амплитудой 10В, фазой 90^o, циклической частотой

По правилу Эйлера этот источник можно преобразовать к комплексному виду так:

Буквой i обозначается мнимая единица. Далее в маткаде задаются значения сопротивлений резисторов, индуктивностей катушек и другие исходные данные:

R1, R2, R3 - сопротивления соответствующих резисторов; L1, L2, L3 - индуктивности соответствующих катушек; E - комплексное напряжение источника. Дальше находятся комплексные сопротивления Z1, Z2, Z3 (рисунок 2):

Индуктивное сопротивление катушки представляет собой произведение индуктивности на циклическую частоту со знаком плюс, записывается в мнимой части полного сопротивления (умножается на i), активное сопротивление резистора записывается в действительной части полного сопротивления. Далее составляются уравнения по законам Кирхофа и записываются в маткаде после слова Given. Ниже приведены уравнения для схемы на рисунке 2.

Первое уравнение составлено по первому закону Кирхгофа для узла под номером 1. Из рисунка 2 видно что ток I1 втекает в узел 1 а токи I2 и I3 вытекают из этого узла поэтому ток I1 записан со знаком плюс а токи I2 и I3 со знаком минус (хотя можно было и наоборот I2, I3 с плюсом а I1 с минусом). Уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла можно было записать поставив в правой части равенства I1 а в левой сумму I2 и I3 со знаком плюс. Второе уравнение составлено по второму закону Кирхгофа для первого контура. Направление напряжения источника E показано стрелкой направленной от плюса к минусу, пусть направления напряжений на остальных элементах первого контура такиеже как и направления токов в ветвях в которых находятся эти элементы. Напряжения совпадающие по направлению с обходом контура записываются в левую часть уравнения со знаком плюс или в правую со знаком минус, напряжения не совпадающие по направлению с обходом контура записываются в левую часть уравнения со знаком минус или в правую со знаком плюс. Во втором уравнении напряжение источника записано в правую часть уравнения, напряжение на элементе Z1 выражено через ток I1 и извесное сопротивление Z1 и записано в левую часть уравнения, напряжение на элементе Z2 выражено через ток I2 и извесное сопротивление Z2 и записано в левую часть уравнения. Третье уравнение составлено по второму закону Кирхгофа для второго контура, напряжение на элементе Z2 не совпадает по направлению с обходом второго контура поэтому оно (напряжение) выраженное через I2 и Z2 записано в левую часть уравнения со знаком минус, напряжение на элементе Z3 совпадает по направлению с обходом второго контура поэтому оно выраженное через I3 и Z3 записано в левую часть уравнения со знаком плюс, в правой части уравнения записан ноль. Знак равно в этих уравнениях выбирается с панели программирования, если поставить обычное равно то маткад выдаст ошибку. Далее с помощю Find как на примере ниже находятся неизвестные токи в комплексном виде.

Чтобы найти действующие значения токов под квадратным корнем записывается сумма квадратов действительной и мнимой частей. Id1 - действующее значение тока I1, Id2 - тока I2, Id3 - тока I3.