Определение коэффициента мощности.

Коэффициент мощности это отношение активной мощности к полной. Экспериментально определить коэффициент мощности можно зная ток в нагрузке I, напряжение источника питания U и активную мощность P потребляемую нагрузкой. Ток можно измерить амперметром а активную мощность ваттметром которые подключаются как показано на рисунке 1:

Рисунок 1 - Схема

Коэффициент мощности вычисляется по формуле:

Для расчёта коэффициент мощности можно воспользоваться программой:

Напряжение сети U=В
Показания ваттметра P=Вт
Показания амперметра I=А

Коэффициент мощности cosφ=

Расчёт схемы с индуктивно связанными катушками.

Электрические схемы могут иметь индуктивно связанные катушки. Такие схемы могут быть рассчитаны методом уравнений Кирхгофа или методом контурных токов. Индуктивно связанными катушками могут быть например обмотки трансформатора. Рассмотрим схему на рисунке 1:

Рисунок 1 - Схема с индуктивно связанными катушками

В этой схеме нет узлов поэтому метод узловых потенциалов к ней не применим. L1 и L2 это индуктивно связанные катушки. Для расчёта схемы выберем направления токов в ветвях и направления контуров:

Рисунок 2 - Схема с вспомогательными обозначениями

У индуктивно связанных катушек L1 и L2 имеется взаимная индуктивность M12. Катушки в схеме включены согласно т.к. ток I1 входит в сторону катушки L1 где точка и при этом ток I2 входит сторону катушки L2 где точка. Так как в схеме нет узлов то уравнения по первому закону Кирхгофа для неё составить нельзя. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа:

Буквой j, в данном случае, обозначается мнимая единица т.е. квадратный корень из -1. В левой части уравнения для первого контура: записано произведение тока I1 на сопротивление R1 со знаком плюс т.к. направление тока в ветви совпадает с направлением обхода контура, записано произведение тока I1 на реактивное сопротивление катушки L1 со знаком плюс т.к. направление тока в ветви совпадает с направлением обхода контура, записано произведение тока I1 на реактивное сопротивление взаимной индуктивности M12 со знаком плюс т.к. ток I1 входит в сторону катушки L1 где точка и при этом ток I2 входит сторону катушки L2 где точка. Если бы ток I1 входил в сторону катушки L1 где нет точки и при этом ток I2 входил в сторону катушки L2 где нет точки то также со знаком плюс было бы записано произведение тока I1 на реактивное сопротивление взаимной индуктивности M12, т.е. первое уравнение не изменилось бы. Если бы ток I1 входил в сторону катушки L1 где точка а ток I2 входил в сторону катушки L2 где точки нет то произведение тока I1 на реактивное сопротивление взаимной индуктивности M12 было бы записано со знаком минус. Если бы ток I1 входил в сторону катушки L1 где нет точки а ток I2 входил в сторону катушки L2 где точка то произведение тока I1 на реактивное сопротивление взаимной индуктивности M12 также было бы записано со знаком минус. В правой части уравнения для первого контура записано ЭДС E источника E со знаком плюс т.к. направление обхода первого контура совпадает с направлением ЭДС этого источника или т.к. напряжение на этом источнике не совпадает с направлением обхода контура поэтому E могло быть записано в левую часть со знаком минус или в правую часть со знаком плюс. Аналогично составлено второе уравнение для второго контура. Преобразуем систему уравнений (1) к виду:

Запишем систему уравнений (2) в матричном виде:

Пусть:
E=10 (ЭДС переменная)(и мнимая часть=0),
f=50Гц (частота синусоидального напряжения E на источнике ЭДС E),
R1=2,
R2=2,
L1=0.01,
L2=0.01,
k=0.5 -коэффициент связи катушек L1 и L2.
Коэффициент связи k показывает какая часть магнитного потока первой катушки пронизывает вторую катушку (и наоборот). Коэффициент связи k может принимать значения в диапазоне от 0 до 1. Если k=0.5 то 50% потока первой катушки пронизывает вторую и наоборот. Рассчитаем взаимную индуктивность M12 и циклическую частоту ω:

Рассчитаем систему уравнений (3) методом Крамера:

Деление комплексных чисел осуществляется по формуле:

Баланс мощностей составляется как для обычной схемы без взаимной индуктивности. Мощность источника:

Мощность приёмников:

Мощность выдаваемая источником равна мощности потребляемой приёмниками т.е. баланс мощностей сошёлся что свидетельствует о правильности расчёт схемы.

E=(ЭДС источника)
f=(частота)
R1=
R2=
L1=
L2=
k=(коэффициент взаимоиндукции (от 0 до 1))

ω=(циклическая частота)
M12=(взаимная индуктивность)
I1=+j*
I2=+j*
Pист=+j*
Pпр=+j*

Расчёт схемы и баланс мощностей.

Если имеется схема с известными: сопротивлениями резисторов, ЭДС источников ЭДС и токами источников тока и надо рассчитать токи во всех ветвях, этой схемы, то можно воспользоваться каким либо методом расчёта схем, например методом уравнений Кирхгофа который является самым универсальным и подходит для расчёта любых схем. Для проверки правильности расчёта схемы: рассчитывается мощность потребляемая в схеме Pпр (мощность приёмников), рассчитывается мощность вырабатываемая в этой схеме Pист (мощность источников) после чего эти две рассчитанные мощности сравниваются, если они равны (м.б. с некоторой погрешностью (т.е. различаются но чуть чуть)) то баланс мощностей сошёлся и решение считается верным, если не равны то схема пересчитывается. Рассмотрим схему на рисунке 1:

Рисунок 1 - Схема

В этой схеме есть: 4 резистора R1, R2 ,R3, R4 с сопротивлениями равными R1, R2, R3, R4 (немного неграмотно параметры элементов обозначать также как и сами элементы но так бывает удобней); источник тока J с током равным J и источник ЭДС с напряжением на нём равным по модулю его ЭДС равным E и напряжение на этом источнике противоположно по направлению ЭДС этого источника (направление ЭДС источника ЭДС на схемах указывается внутри этого источника а направление напряжения на нём указывается снаружи). На самом деле источник ЭДС создаёт только ЭДС а напряжение при этом существует на части (имеющей сопротивление) контура подключенной к этому источнику но бывает удобно составлять правильные уравнения считая что существуют напряжения на источниках ЭДС и напряжения на других элементах а ЭДС не учитывать. Для того чтобы рассчитать схему на рисунке 1 пронумеруем в ней узлы (начиная с нуля), выберем направления токов во всех ветвях (можно произвольно), выберем независимые контуры (желательно (для метода контурных токов) в одну сторону и так чтобы они не пересекали ветви на рисунке):

Рисунок 2 - Схема с вспомогательными обозначениями

Уравнения по первому закону (правилу) Кирхгофа составляются для узлов начиная с первого (т.е. для нулевого узла уравнение по первому закону (правилу) Кирхгофа  можно не составлять а для остальных надо). Нулевым узлом можно выбрать любой а все остальные нумеровать по всякому. Уравнения по второму закону (правилу) Кирхгофа составляются для контуров (в количестве = количество ветвей - количество узлов + 1) в которых нет источника тока и есть хотя бы одна ветвь которая не принадлежит другим контурам а для расчёта.

Перенеся в правую часть уравнений токи источников тока и напряжения источников ЭДС можно (а можно в принципе и не переносить) решить систему уравнений и получить токи I1-I4. Но в данном случае можно применить более простые методы нахождения токов нежели метод уравнений Кирхгофа. Например можно использовать метод контурных токов. Уравнения методом контурных токов можно составлять в матричном виде, для схемы на рисунке 2:

Далее если все (даже вспомогательные с источниками тока) контуры направлены в одну сторону и контуры не пересекают ветви на рисунке.
На главной диагонали квадратной матрицы (которая слева) ставятся суммы сопротивлений резисторов входящих в соответствующие контуры, например в ячейке в первой строке и первом столбце ставиться сумма сопротивлений резисторов первого контура (контур I11 с контурным током I11), в ячейке во второй строке и втором столбце ставится сумма сопротивлений второго контура I22 (контур I22 с контурным током I22) и т.д. В остальных ячейках этой матрицы ставятся со знаком минус сопротивления резисторов общих для двух каких либо контуров, например если у первого и второго контура общий резистор с сопротивлением R3 (см. рисунок 2) то -R3 записывается в ячейку в первой строке и втором столбце и также записывается в ячейку во втором столбце и первой строке. Матрица с сопротивлениями умножается на матрицу контурных токов. В правой части уравнения (2) находится матрица источников. В первой строке матрицы источников находится произведение тока источника тока J на сопротивление резистора R1 со знаком плюс. Для того чтобы это записать был выбран дополнительный контур направление которого совпадает с направлением тока источника тока, это произведение записывается со знаком плюс т.к. иначе оно могло быть записано в левой части со знаком минус потому что в левой части со знаком плюс могут быть только суммы сопротивлений контуров без источников токов, но это только при том что все контуры направлены в одну сторону и не пересекают ветви на рисунке. R1 - это резистор общий для первого контура и контура с источником тока. Если бы источник тока был направлен в другую сторону то направление контурного тока J следовало бы выбрать в другую сторону и тогда бы в первой строке матрицы источников стояло произведение J*R1 со знаком минус т.к. контур J был бы направлен через ветвь с резистором R1 в ту же сторону что и контур I11.
Во второй строке матрицы источников находится ЭДС источника ЭДС со знаком минус т.к. эта ЭДС направлена противоположно току (с выбранным направлением) в ветви. Уравнения этим методом можно было составить применяя другой подход.
Контурные токи I11 и I22 находятся при решении уравнения (2). Токи находятся по формулам:

Для ветви с током I1 ток I1=J-I11 т.к. контуру J принадлежит эта ветвь и направление этого контура совпадает с током I1 поэтому J со знаком плюс, контуру I11 принадлежит эта ветвь и направление этого контура не совпадает с током I1 поэтому I11 со знаком минус. Контуру I11 принадлежит только одна ветвь с током I2 и направление этого тока совпадает с направлением контура I11 поэтому I2=+I11. Для других токов аналогично.
Для нахождения токов можно (если нет ветвей с одним источником ЭДС без резистора (или др. элемента с сопротивлением)) также использовать метод узловых потенциалов:

На главной диагонали квадратной матрицы ставятся суммы проводимостей ветвей присоединённых к соответствующим узлам, например в ячейке на первой строке в первом столбце стоит сумма проводимостей присоединённых к первому узлу. К первому узлу присоединено три ветви проводимость ветви с источником тока равна нулю поэтому она не записывается, проводимость ветви с резистором R1 равна 1/R1 (т.к. проводимость - величина обратная сопротивлению), проводимость ветви с резистором R2 равна 1/R2. В ячейке на второй строке во втором столбце записана сумма проводимостей присоединённых ко второму узлу. В остальных ячейках этой матрицы ставятся со знаком минус проводимости ветвей между двумя какими либо узлами кроме нулевого. Проводимость между первым и вторым узлами равна 1/R2 поэтому в ячейке на второй строке и первом столбце ставится -1/R2 и в ячейке на первой строке и втором столбце ставиться -1/R2. Если между узлами нет проводимости то в соответствующую ячейку ставиться ноль. Метод контурных токов и метод узловых потенциалов имеют сходство. Матрица с проводимостями умножается на матрицу с потенциалами узлов. В правой части уравнения (4) стоит одностолбцовая матрица источников. Первая строка матрицы источников соответствует первому узлу, вторая второму и т.д. В первую строку матрицы источников вписывается ток J источника тока J со знаком плюс т.к. ток J источника J направлен к первому узлу (если от то со знаком "-"). Во вторую строку матрицы источников вписано произведение ЭДС E источника ЭДС E на проводимость ветви с этим источником ЭДС со знаком плюс т.к. эта ЭДС направлена ко второму узлу (если от то со знаком "-"). Если к узлу подсоединено несколько источников то все они с соответствующими знаками записываются в соответствующую этому узлу строку. Потенциалы узлов находятся при решении уравнения (4). Токи находятся по формулам:

I1=φ1/R1 т.к. ток на резисторе R1 равен отношению напряжения, на этом резисторе, к сопротивлению этого резистора а напряжение на этом резисторе равно разности потенциалов на этом резисторе, т.к. ток I1 направлен (направление выбранное) от узла 1 к узлу 0 то напряжение на этом резисторе с учётом направления тока находится вычитанием потенциала узла 0 из потенциала узла 1, т.к. потенциал узла 0 равен нулю то он не пишется и получается что напряжение на резисторе R1 с учётом направления тока равно φ1. I4=(E-φ2)/R4 т.к. ток на резисторе R4 равен отношению напряжения, на этом резисторе, к сопротивлению этого резистора а напряжение на этом резисторе равно E-(φ2-φ0) по второму закону Кирхгофа.
 Для примера решим уравнение (2) и примем например что:
J=1
R1=1
R2=1
R3=1
R4=1
E=1
Решить его можно например методом Крамера. Для решения методом Крамера найдём определитель (детерминант) матрицы с сопротивлениями:

Найдём определитель матрицы с сопротивлениями у которой первый столбец заменён на столбец матрицы источников:

Найдём определитель матрицы с сопротивлениями у которой второй столбец заменён на столбец матрицы источников:

Найдём контурные токи:

Найдём токи:

Для проверки правильности расчёта схемы (нахождения токов) рассчитаем мощность потребляемую приёмниками энергии (ими м.б. резисторы или источники (в данном случае только резисторы)):

Мощность (потребителей и источников) равна произведению тока протекающего через элемент (потребитель или источник) на напряжение на нём. Ток в квадрате это ток умноженный на ток, если ток умножить на сопротивление то получиться напряжение поэтому например (I1^2)*R1 это мощность потребляемая резистором R1.
Для резисторов все мощности со знаком плюс, направления токов не учитываются.
Рассчитаем мощность выдаваемую источниками:

Если напряжение на ветви с источником тока направлено согласно току (направление которого указано стрелками в источнике) источника тока то мощность источника тока была бы записана в уравнение (12) со знаком минус и тогда предполагалось бы что источник потребляет энергию или эта мощность была бы записана в уравнение (11) со знаком плюс. Если бы ЭДС источника была направлена в направлении противоположном току (направление которого выбрано и показано на рисунке 2 стрелкой) в этой ветви то мощность этого источника была бы записана в уравнение (12) со знаком минус или в уравнение (11) со знаком плюс. Знаки мощностей записываемых в уравнения для проверки определяются по выбранным в самом начале направлениям токов. Т.к. мощности источников равны мощностям приёмников то можно считать что баланс мощностей сошёлся и расчёт схемы выполнен правильно.

Для расчёта токов I1-I4 в схеме на рисунке 2 с учётом направлений токов (как на рисунке 2) можно воспользоваться программой:

J=
R1=
R2=
R3=
R4=
E=

I1=
I2=
I3=
I4=
Pпр=
Pист=

Если вы заметили ошибку то напишите о ней пожалуйста в комментарии

АВТОпроветриватель.

Для проветривания влажного гаража с периодическим включением и выключением проветривающего вентилятора была придумана схема автоматического включателя/выключателя.
Схема приведена на рисунке 1:

Рисунок 1 - Автоматический включатель/выключатель

Сетевой трансформатор из блока питания для игровой приставки sega. Старые диоды моста блока питания приставки перегорели поэтому их пришлось заменить на кд243В.

Для моста (в данном случае) подойдут кд243 с любым буквенным индексом. На резисторе R3 и стабилитроне VD5 сделан стабилизатор напряжения для питания мультивибратора и счётчика DD1, мультивибратор является тактовым генератором для счётчика DD1.
При работе автовключателя/выключателя реле включается и выключается не строго по времени а случайно придерживаясь некоторых временных пределов так что возможно где то в схеме ошибка, но в целом работая он выполняет свою функцию включая и выключая периодически прибор подключенный через реле к сети.
Для подключения к сети можно использовать такую схему:

Рисунок 2 -  Вариант подключения к сети

В одном из положений переключателя S1 вентилятор подключен к сети через контакты реле автоматического включателя/выключателя который, при этом положении переключателя S1, подключен к сети и работает. В другом положении переключателя S1 вентилятор подключен к сети через перемычку и поэтому работает постоянно, выключение автопроветривателя (в данном случае) осуществляется путём отключения от сети всей системы. Перемычку можно заменить разрывом если режим постоянной работы вентилятора не нужен, в этом случае выключение и включение автопроветривателя осуществляется путём изменения положения переключателя S1.

Недоработка схемы (или чего то ещё) отчасти оказалась полезной т.к. вентилятор большую часть времени не работает, поэтому тратит меньше энергии.