Применение метода переменных состояния для формирования математической модели цепи.

Рассмотрим формирование математической модели для анализа переходного процесса в схеме на рисунке 1:

Рисунок 1 - Схема

Для схемы на рисунке 1 составим направленный граф и выделим на нем нормальное дерево:

Рисунок 2 - Направленный граф

Дерево графа показано жирными линиями. Хорды графа показаны тонкими серыми линиями. Граф показывает связи между узлами которые (связи) называются ветвями графа, направленный граф, помимо этого, показывает направления ветвей. В данном случае для каждого элемента поставлена отдельная ветвь. Все узлы находятся в местах соединения ветвей. Дерево графа это набор ветвей образующий путь между всеми узлами но не образующий замкнутых контуров. Выбор ветвей дерева должен производиться с учётом следующего приоритета:

1) источники ЭДС,

2) конденсаторы,

3) резисторы,

4) катушки.

Ветви не вошедшие в дерево являются хордами. Хорды выбираются в соответствии с приоритетом:
1) конденсаторы,
2) резисторы,
3) катушки,
4) источники тока.
 Далее выбираются контуры так чтобы в каждом из них содержалась одна хорда и направление обхода контура выбирается по направлению этой хорды.

    Математическая модель цепи может быть найдена из уравнения 1:

Где Ip - матрица токов ребер, Ux - матрица напряжений хорд, F- матрица ребер, Up - матрица напряжений ребер, Ix - матрица токов хорд.

   Запишем матрицу токов ребер и матрицу токов хорд в соответствии с приведенными выше приоритетами для ребер и для хорд:

 IE - ток источника, второй элемент матрицы Ip это ток конденсатора (смотри формулу 2 в статье "ёмкостное сопротивление конденсатора"), IRE - ток резистора RE, IRL - ток резистора RL, IRH - ток резистора RH, IL - ток катушки.

  Запишем матрицу напряжений ребер и матрицу напряжений хорд в соответствии с приведенными выше приоритетами для ребер и для хорд:

E - ЭДС источника E, UC - напряжение конденсатора, последние два элемента матрицы Up и первый элемент матрицы Ux - напряжения соответствующих резисторов (из закона Ома), последний элемент матрицы Ux это напряжение катушки (смотри "первый закон коммутации, ЭДС катушки"). Далее составим матрицу контуров B:

Число строк матрицы контуров равно числу контуров (в нашем случае два), число столбцов матрицы контуров равно числу ветвей. Каждый столбец принадлежит какой либо ветви а каждая строка - какому либо контуру, каждый контур принадлежит какой либо хорде. Столбцы и строки выставляются по порядку в соответствии с приведенными выше приоритетами для ребер и для хорд. Матрица контуров B заполняется так: 

• Если ветвь принадлежит какому то контуру и совпадает с ним по направлению то в ячейке столбец которой принадлежит этой ветви а строка принадлежит этому контуру записывается 1.
• Если ветвь принадлежит какому то контуру и не совпадает с ним по направлению то в ячейке столбец которой принадлежит этой ветви а строка принадлежит этому контуру записывается -1.
• Если ветвь не принадлежит какому то контуру то в ячейке столбец которой принадлежит этой ветви а строка принадлежит этому контуру записывается 0.

Например ветвь E принадлежит контуру II и не совпадает с ним по направлению поэтому в ячейке столбца принадлежащего ветви E (первый столбец) и строки принадлежащей контуру II (вторая строка) записывается -1. Та часть матрицы столбцы которой принадлежат 

ветвям-ребрам называется матрицей ребер, остальная часть матрицы называется матрицей хорд. Если на главной диагонали матрицы хорд стоят единицы а в остальной её части - нули (как в нашем случае) то из матрицы контуров B можно выделить матрицу ребер F если нет то значит при составлении графа и/или при составлении матрицы контуров B была допущена ошибка. Контуры графа нумеруются согласно второму приоритету и их принадлежности хордам. 

  Выделим матрицу ребер F из матрицы контуров B:

Найдем матрицу -F:

 Транспонируем матрицу F (заменим столбцы строками а строки столбцами):

Подставим найденные матрицы Ip, Ux, -F, F^T, Up, Ix в уравнение 1:

Перемножим матрицы во второй части уравнения:

Запишем это выражение в виде системы уравнений:

Из второго уравнения выразим производную напряжения конденсатора по времени через напряжение конденсатора используя пятое уравнение а из шестого уравнения выразим производную тока катушки по времени через ток катушки используя первое, третье и четвёртое уравнения:

Данная система уравнений представляет собой математическую модель схемы на рисунке 1.